Britanya Sahilinin Boyu Ne Kadar? — Benoit Mandelbrot

İstatistiksel Kendine-benzerlik ve Fraksiyonlu Boyut

Özet. Jeografik eğriler kendi detaylarına öyle katlanmıştırlar ki uzunlukları sıklıkla sonsuzdur, ya da tanımlanamazdır. Fakat birçoğunun istatistiği “kendine-benzerdir,” yani her bir kısım, bütünün ölçeği-indirgenmiş bir imgesi gibi değerlendirilebilir. Bu durumda karmaşıklık derecesi D diye bir nicelikle tarif edilebilir, bu nicelik, “boyut”ta olabilecek birçok özelliğe sahiptir, gerçi fraksiyonludur; yani sıradan, düzeltilebilir eğrilerle ilişkilendirilen 1 değerini aşar.

Denizkıyısı şekilleri çok katlanmış eğrilere örnektir, bu eğrilerin her bir kısmı –istatistiksel anlamda–, bütünün ölçeği-indirgenmiş bir imgesi gibi değerlendirilebilir. Bu özellik “istatistiksel kendine-benzerlik” adıyla anılacaktır. Böyle figürlerde bir boydan söz etmek çoğu zaman anlamsızdır. Bunun gibi (1), “Vistula’nın sol kıyısı, yüksek duyarlıkla ölçüldüğünde, okul haritasından okunan boyun on, yüz, hatta bin katı boylar getirecekti.” Daha genelde jeografik eğriler, karakteristik büyüklükleri geniş bir aralığa saçılmış özelliklerin üst üste bindirilmesi [superposition] gibi değerlendirilebilirler; daha ince özellikler hesaba katıldıkça, ölçülen toplam boy artar, ve çoğu zaman jeografi alemiyle jeografiyi ilgilendirmesi gerekmeyen detaylar arasında net bir ayrım bulunmaz.

britain1

Şekil 1. Richardson’ın verileri, köşeleri eğri üzerinde olan eşit kenarlı çokgenler yoluyla jeografik eğrilerin ölçülmesiyle ilgilidir. Çemberde kenar sıfıra giderken toplam boy bir sınıra yakınsar. Tüm diğer hallerde, kenar kısaldıkça toplam boy artar, çifte logaritmik grafiğin eğimi mutlak değerde D-1’e eşittir. (2’nin Şekil 17’sinden izinli olarak alınmıştır)

Jeografik eğrinin çeşitli karmaşıklık derecelerini birbirinden ayırt etmek için demek ki boydan başka niceliklere ihtiyaç vardır. Bir eğri kendine-benzer olduğunda D diye bir benzerlik kuvvetiyle karakterize olur, bu nicelik bir boyutun taşıyabileceği birçok özelliğe sahiptir, gerçi çoğu zaman eğrilere sıklıkla atfedilen 1 boyutunu geçen bir fraksiyondur. Richardson’ın kimi ampirik gözlemlerini bu ışık altında tekrar inceleyelim (2). Bu gözlemleri Büyük Britanya’nın batı sahilinin D = 1.25 boyutunda olduğunu imletecek gibi yorumlamayı öneriyorum. Böylece şimdiye dek ezoterik kalmış “fraksiyonlu boyutta rastgele figür” kavramının basit ve somut uygulamaları olduğu ve büyük fayda sağladığı görülür.

Kendine-benzerlik yöntemleri tesadüfi görüngülerin çalışılmasında yetkin bir araçtır, hem jeoistatistikte, hem de ekonomi (3) ve fizikte (4). Aslında birçok gürültü D boyutu 0’la 1 arasında barındırır, öyle ki bilimcinin boyutu 0’dan sonsuza dek uzanan süreğen bir nicelik gibi değerlendirmesi gerekir.

Birinci paragraftaki iddiaya dönelim ve bir denizkıyısı boyunun ölçülmesi için kullanılan yöntemleri gözden geçirelim. Bir jeograf dakik detaylara ilgisiz olduğundan, jeografik anlam taşıyan özelliklerin boylarına alt sınır olarak G diye pozitif bir ölçek seçebilir. O zaman bir sahilin A ve B noktaları arasındaki boyunu değerlendirmek için, denizle mesafesi G‘yi aşmadan A‘yı B‘ye bağlayan en kısa karasal eğriyi çizebilir. Bunun alternatifi, sahil üzerinde G boyunu aşmayan düz bölütlerle A‘yı ve B‘yi içeren noktaları birleştiren en kısa çizgiyi çizmesidir. Birçok başka imkanlı tanımlama vardır. Pratikte, elbette, en kısa yolların kestirilen değerleriyle yetinmek gerekir. Ölçümlerde, bir pergeli harita boyunca yürüterek, köşeleri eğride duran açık bir çokgenin G boyundaki eşit kenarlarının sayıldığını varsayacağız. Eğer G yeterince küçükse A’dan mı B’den mi başlanacağı önem taşımaz. Böylece bir boy kestirimi elde edilir, buna L(G) diyelim.

Maalesef jeograflar G değerinde anlaşamazlar, L(G) de büyük ölçüde G‘ye bağlıdır. Neticede G‘nin birçok değeri için L(G)‘nin bilinmesi gerekir. Daha iyisi, L(G)‘yi analitik bir formülle G‘ye bağlamak hoş olacaktır. Tamamen ampirik karakterde böyle bir formülü Lewis F. Richardson (2) önermişti ama maalesef hiç dikkat çekmedi. Formül şu: L(G) = M G 1-D, burada M pozitif bir sabittir, D en az 1’e eşit olan bir sabittir. Bu D‘nin, “bu hudut karakteristiğinin, hudut düzensizliğinin dolaysız görsel algısıyla pozitif ilintili olması beklenebilir. Bir aşırı uçta, haritada düz gözüken bir hudutta D = 1.00 olur. Öbür aşırı uçta, dünyanın en düzensiz gözüken sahillerinden biri olarak Britanya’nın batı sahili seçilmiştir; ve D = 1.25 verdiği bulunmuştur. Haritadaki görünüşlerine bakılırsa dünyada ortalama düzensizlikte olan üç diğer hudut, M.S. 1889 civarı Almanya’nın kara hudutları D = 1.15; İspanya ve Portekiz arasındaki kara hududu D = 1.14, ve Avustralya sahili D = 1.13 vermiştir. Atlasın en pürüzsüzlerinden biri olarak seçilen sahil Güney Afrika’daydı, onda da D = 1.02’dir.”

Richardson’ın bu ampirik buluşu, iyi-tanımlanmış bir boyla takdis edilerek “düzeltilebilir” [rectifiable] oldukları söylenen pürüzsüz eğrilerin sıradan davranışıyla belirgin karşıtlık içindedir. Böylece, yine Steinhaus’u (1) alıntılarsak, “gerçekliğe yakın yeterlikteki bir beyan, doğada karşılaşılan çoğu kavisi [arc] düzeltilemez saymak olurdu. Bu beyan, düzeltilemez kavislerin matematikçilerin icadı olduğu ve doğal kavislerin düzeltilebilir olduğu inancının aksinedir: Hakikat bunun tersidir.”

Ben de şöyle yorumluyorum: Richardson’ın bağıntısı, 1’den büyük boyutlu eğrilerin matematikçilerin icadı olduğu inancının aksinedir. Buna göre boyut kavramının temel bir özelliğini gözden geçirmek ve fraksiyonlu boyutlar değerlendirmesine nasıl doğallıkla yol açtığını göstermek gereklidir.

Öncelikle, düz bir çizginin boyutu 1’dir. Buradan, her pozitif N tamsayısı için, (0 ≤ x < X) bölütü, birbiriyle örtüşmeyen [(n-1)X/N ≤ x < nX/N] biçiminde N bölüte, n‘in değeri 1’den N‘e giderken, tam olarak ayrıştırılabilir. Bu parçaların her birisi r(N) = 1/N oranında bir benzerlikle bütünden çıkarsanabilir. Bunun gibi, düzlemin boyutu 2’dir. Buradan, her kusursuz N karesi için, (0 ≤ x < X; 0 ≤ y < Y) diktörtgeni, birbiriyle örtüşmeyen [(k-1)X/N1/2x < kX/N1/2; (h-1)Y/N1/2y < hY/N1/2] biçiminde N dikdörtgene, k ve h 1’den N1/2‘ye giderken, tam olarak ayrıştırılabilir. Bu parçaların her birisi r(N) = 1/N1/2 oranında bir benzerlikle bütünden çıkarsanabilir. Daha genel durumda, N1/D‘nin pozitif tamsayı olduğu her zaman, D boyutlu dikdörtgenli bir paralelkenar, r(N) = 1/N1/D oranında bir benzerlikle bütünden çıkarsanabilen N paralelkenara ayrıştırılabilir. Böylece D boyutunun karakteri D = – log N / log r(N) bağıntısıyla belirlenir.

britain2

Şekil 2. Düzeltilemez kendine-benzer eğriler şöyle elde edilebilir. Adım 1: Yukarıdaki çizimlerden herhangi birini seçiniz. Adım 2: N bacağının her birisini, 1/4 oranı benzerliğiyle bütün çizimden çıkarılan bir eğriyle değiştiriniz. Elinizde (1/4)2 boyunda N2 bacaklı bir eğri kalacak. Adım 3: Her bacağı (1/4)2 oranı benzerliğiyle bütün çizimden elde edilen bir eğriyle değiştiriniz. Arzulanan kendine-benzer eğriye bu adımların sonsuz dizisiyle yaklaşılır.

D niceliğinin bu sonuncu özelliği, N parçaya tam olarak ayrıştırılabilen daha genel figürler için de D niceliğinin bulunabileceği anlamına gelir, yeter ki her parça r(N) oranında bir benzerlikle, ya da belki dönme ya da simetriyi izleyen bir benzerlikle bütünden çıkarsanabilsin. Eğer böyle figürler varsa, boyutlarının D = – log N / log r(N) olduğu söylenebilir (5). Böyle figürlerin var olduğunu göstermek için, süreğen türevlenemez von Koch eğrisinin birkaç bariz varyantını sergilemek yeterlidir. Bu eğrilerin her biri bir sınır gibi inşa edilir. Adım 0, (0, 1) bölütünü çizmektir. Adım 1, Şekil 2’deki kıvrık eğrilerden birini çizmektir, bu eğriler (0, 1/4) bölütünün üstüne bindirilebilen N aralıktan yapılmıştır. Adım 2, adım 1’de kullanılan N bölütün her birinin yerine adım 1’in eğrisini r(N) = 1/4 oranıyla indirgeyerek elde edilen bir kıvrık eğriyi geçirmektir. Böylece 1/16 boyunda N2 tane bölüt elde edilir. Aynı sürecin her tekrarı daha çok detay ekler; adım sayısı sonsuza doğru büyürken, kıvrık eğrilerimiz süreğen sınırlara yakınsar ve incelenirse bu sınırların kendine-benzer oldukları barizdir, çünkü ötelemeyi izleyen r(N) = 1/4 oranında bir benzerlikle bütünden çıkarsanabilen N parçaya tam olarak ayrıştırılabilirler. Böylece, N verildiğinde, sınır eğrinin boyutunun D = – log N / log r(N) = log N / log 4 olduğu söylenebilir. Örneklerimizde N, 4’ten büyük olduğundan, tekabül eden boyutların hepsi 1’i aşar. Şimdi de boyu değerlendirelim: s numaralı adımda, yakınsamamız G = (1/4)s boyunda Ns bölütten oluşur, yani L = (N/4)s = G1-D olur. Böylece, sınır eğrinin boyu sonsuz olur, bir “çizgi” olmasına rağmen. (Bir düzlem eğrisinin 2’ye eşit boyut taşımasının dışlanmadığını belirtelim. Bunun örneği kareyi dolduran Peano eğrisidir.)

Bu boyut mefhumunun pratik uygulamasının daha iyi değerlendirilmesi gerekir, çünkü kendine-benzer figürlere doğada nadiren rastlanır (kristaller bunun bir istisnasıdır). Fakat kendine-benzerliğin istatistiksel biçimine sıklıkla rastlanır, ve boyut kavramı daha da genelleştirilebilir. Bir (kapalı) düzlem figürünün rastgele seçildiğini söylemek birçok tanımı imletir. Birincisi, imkanlı figürlerin bir ailesi seçilmelidir, bu çoğu zaman Ω ile belirtilir. Bu aile sonlu sayıda üye içerdiğinde, rastgele seçim kuralı, her imkanlı figüre iyi tanımlanmış bir seçilme olasılığı atfederek belirlenir. Fakat Ω genelde sonsuzdur ve her figürün seçilme olasılığı sıfırdır. Ama uygun tanımlanmış “olaylara” (seçilen figürün –belirli bir anlamda– belirli başka bir figürden biraz farklı olması gibi olaylara) pozitif olasılıklar iliştirilebilir.

Ω ailesinin, olaylar ve olasılıklar da tanımlıyken, kendine-benzer olması, iki koşula gerek duyar. Birincisi, her imkanlı figür, N figürü birbirine sararak bağlayarak inşa edilebilmelidir, ki bu N figürün her birisi imkanlı bir figürden r oranında bir benzerlikle çıkarsanacaktır; ikincisi, olasılıklar öyle belirlenmelidir ki bütün figür tek hamlede seçildiğinde de, bağlandığı sırayla seçildiğinde de aynı değer elde edilsin. (N değeri keyfî olabilir, ya da belirli bir diziden seçilebilir, mesela rastgele olmayan dikdörtgenlere izafi kusursuz karelerden, ya da Şekil 2’de kurulan eğrilerde rastlanan 4, 5, 6 veya 7’nin entegral kuvvetlerinden seçilebilir.) r değerinin N‘yi seçerek belirlendiği durumda, – log N / log r bir benzerlik boyutu gibi değerlendirilebilir. Fakat çoğu zaman, r verildiğinde, Ω’daki farklı figürlere göre N farklı değerler alacaktır. Birbirinden “yeterince uzak” noktalar değerlendirildiğinde, “yeterince ince” bir ölçekteki detaylar asimtotik olarak bağımsızlaşabilirler, öyle ki – log N / log r, r sıfıra giderken hemen hemen kesinlikle bir sınıra yakınsar. Bu durumda, bu sınır bir benzerlik boyutu gibi değerlendirilebilir. Geniş koşullar altında, yakınsayan poligonların boyu asimtotik olarak L(G) ~ G1-D gibi davranacaktır.

Bir benzerlik boyutunun var oluşunun matematiksel koşullarını belirlemek tamamen çözülmüş bir sorun değildir. Aslında jeografik eğrinin rastgele olması fikri bile rastgeleleliğin diğer uygulamalarında aşina olunan bir dizi kavramsal sorunu yaratır. Demek ki, Richardson’un ampirik yasasına dönersek, kusursuz güvenceyle en fazla şunu söyleyebiliriz: bu benzerlik boyutu fikri, jeografik eğrilerin fraksiyonlu D boyutunda rastgele kendine-benzer eğriler oldukları fikriyle uyumludur. Ampirik bilimciler kusurlu çıkarımlarla yetinmeliyse de, ben bu raporun en başında beyan edilen daha pozitif yorumdan yanayım.

BENOIT MANDELBROT
Uluslararası Meşguliyet Makineleri
Thomas J. Watson Araştırma Merkezi,
Yorktown Tepeleri, New York 10598

Kaynaklar ve Notlar

1. H. Steinhaus, Colloquium Math. 3, 1 (1954), burada daha eski kaynaklar listelenmiştir.

2. L. F. Richardson, Genieral Systems Yearbook 6, 139 (1961).

3. B. Mandelbrot, J. Business 36, 394 (1963), ya da The Random Character of Stock Market Prices, P. H. Cootner, Der. (M.I.T. Press, Cambridge, Mass, 1964), s. 297.

4. B. Mandelbrot, IEEE Inst. Elect. Electron. Eng. Tra,is. Commun. Technol. 13, 71 (1965) and IEEE Inst. Elect. Electroni. Enig. Trans. Inform. Theory 13 (1967). Çok benzer değerlendirmelerin geçerli olduğu türbülansta, ayrıca “özelliklerin” (yani burgaçların [eddy]) karakteristik büyüklükleri de çok geniş aralıkta saçılır, bunu da ilk olarak 1920’lerde ortaya çıkaran bizzat Richardson’dır.

5. “Boyut” kavramı ele avuca gelmez ve çok karmaşıktır, ve bu makaledeki gibi basit değerlendirmelerle tüketilmekten uzaktır. Farklı tanımlar sık sık farklı sonuçlar verir, ve alan paradokslarla doludur. Yine de, Hausdorff-Besicovitch boyutu ve kapasiter boyut, rastgele kendine-benzer figürler için hesaplandığında, şimdiye dek benzerlik boyutu ile aynı değeri vermiştir.

14 Kasım 1966: 27 Mart 1967
Türkçesi: Işık Barış Fidaner

Not: “Geography”nin Türkçesine “coğrafya” yerine “jeo” ve “grafik” olduğundan “jeografik” dendi. Cümleleri akıcı kılmak için “uzunluk” yerine “boy” dendi.

4 Comments

Filed under çeviri, bilim