Matematiğin temellerine giriş — Sylvain Poirier

Facebook’ta admini olduğum Set Theory and Philosophy grubunda kendini tanıtan Sylvain Poirier’in settheory.net sitesinden çeviriler yapmaya aylar önce kalkışmıştım, ilk bölümü bugün tamamlayabildim.

Siteye de yüklenmiş: http://settheory.net/tr/

IBF

Sylvain Poirier — settheory.net

1. Matematiğin ilk temelleri

1.1. Matematiğin temellerine giriş

Matematik ve kuramlar

Matematik öğesel nesne sistemlerinin çalışılmasıdır; bu sistemlerin tek tabiatı kesin olmaktır, muğlak olmamaktır (iki nesne eşittir ya da farklıdır, ilişkilidir ya da değildir; bir işlem kesin bir sonuç verir…). Böyle sistemler olağan dünyamızdan bağımsız hâlde tasavvur edilirler, gerçi birçoğu olağan dünyanın çeşitli yönlerine benzeyebilir (böylece onları tarif etmekte kulanılırlar). Bir bütün olarak matematik, bu türde (kesin nesneleri olan) «tüm mümkün dünyaların bilimi» gibi görülebilir.

Matematik çeşitli dallara ayrılmıştır, her matematiksel çalışmada örtük ya da alenî çerçeveler vardır, ve bunlar (belitsel [axiomatic]) kuramlar hâlinde formelleştirilebilir. Her kuram sabit olması gereken bir nesneler (dünyası) sisteminin çalışılmasıdır, bu sisteme o kuramın modeli denir. Ama kuramdaki modellerden her biri onun mümkün yorumlamalarından, bir o kadar meşru başka modeller içinden sadece bir tanesi olabilir [may be]. Kaba bir örnek verirsek, bütün kağıt sayfalar maddî nokta sistemleridir, aynı Öklit düzlem geometrisi kuramına ait modellerdir, ama birbirlerinden bağımsızdırlar.

Temeller ve gelişmeler

Her kuram bir temel ile başlar, bu da modellerine (tür ya da şekillerine) dair ne bildiğini ya da varsaydığını belirten tarif parçaları listesinin verisidir. Burada bulunan belitler denen bir formüller (beyanlar) listesi, modellerde gereksinilen özellikleri ifade eder, yani kabul edilen modelleri seçer, belitlerin yorumlanabildikleri tüm mümkün sistemler kümesi içinde belitlerin geçerli [true] olduğu sistemleri seçer.

Sonra, bir kuram üstüne çalışma kimi mümkün gelişmelerinin seçimiyle ilerler: bunlar verili temelden sonuçlanan, modeller hakkında yeni kavramlar ve bilgilerdir, bir sonraki temeli biçimlemek için üzerine ekleyebileceklerimizdir.

Özel olarak, bir kuramın savı [theorem], kuramın belitlerinden çıkarılan bir formüldür, öyle ki onun tüm modellerinde geçerli [true] olduğu bilinir. Savlar bir kuramın belitler listesine anlamını değiştirmeden eklenebilirler.

Başka (henüz seçilmemiş) mümkün gelişmeler daha sonra gene işletilebilir, çünkü temelin onları üretebilen kısmı muhafaza edilir. Böylece bir kuramın mümkün gelişmelerinin bütünselliği, onları işlemek için seçilen sıralamadan bağımsız olarak, zaten bu gelişmelerin keşfettiği bir tür «gerçeklik» biçimler (sonra Tamamlanmışlık savı nihayet gösterir ki mümkün savlar kümesi daha ilginç bir gerçeklik olan mümkün modellerin çeşitliliğini tam anlamıyla yansıtır).

Savlar arasında mümkün hiyerarşiler vardır, bazıları öbürleri için daha temellendirici bir rol oynar. Örneğin birçok savın temelleri arasında ortak bir kısım, gelişmeleri herkese uygulanabilen daha basit bir kuram biçimleyebilir.

Asıl iş, basit bir ilk dayanaktan, daha tamamlanmış bir temel geliştirmektir, donandığı verimli araçlarla ilginç gelişmelere daha doğrudan yollar açan bir temel geliştirmektir.

Temeller döngüsü

Matematiksel nesnelerin tabiatındaki basitliğe rağmen, tüm matematiğin genel temelinin oldukça karmaşık olduğu görülür (gerçi fizikteki herşeyin kuramı kadar kötü değildir). Nitekim bu temel kendi başına bir matematiksel çalışmadır, matematiğin bir dalıdır, buna matematiksel mantık denir. Diğer her dal gibi bu da nesne sistemleri hakkında tanımlamalar ve savlardan oluşur. Fakat onun nesnesi tarif edilebilecek sav ve sistemlerin genel biçimi olduğundan, tüm matematik dallarının genel çerçevesini sağlar… kendisi dahil.

Ve ele alınan her temelin çerçeve ya da temelini sağlamak için (varsayılan bir temelden yola çıkan sıradan matematiksel işlerden farklı olarak), tam anlamıyla bir çıkış noktasına benzemez, daha basit ve daha zor adımlardan oluşan bir nevi geniş döngüye benzer. Yine de bu temeller döngüsü matematikte temellendirici bir rol oynar, matematiğin çok çeşitli dallarına ihtimamlı çerçeveler ve birçok kullanışlı kavram sağlar (çok çeşitli felsefî sorulara araç, ilham ve cevaplar sağlar).

(Her kelimeyi başka kelimelerle tanımlayan sözlüklere benzer, ya da sonlu sistemlerin bir başka bilimine: bilgisayar programlamaya benzer. Nitekim bilgisayarlar da sadece kullanılabilirler, ne yaptığını bilerek ama niye işe yaradığını bilmeyerek kullanılabilirler; işleyişleri bir dilde yazılmış yazılıma dayanır, sonra başka yazılımlarla derlenirler, donanım ve işlemci bilgisayar yardımıyla tasarlanmış ve üretilmiştir. Bu da bu sahanın doğumundan çok daha iyidir.)

İki kuramın hakimiyeti altındadır:

Küme kuramı «tüm matematiksel nesneler» evrenini tarif eder, en basitten en karmaşığa kadar, sonsuz sistemlere kadar (sonlu bir dilde) tarif eder. Kabaca tek bir kuram gibi görülebilir, ama ayrıntılarda (her zaman birbirine eşdeğer olmayan) mümkün değişkelerin [variant] sınırsız çeşitliliğine sahip olacaktır.

Model kuramı (kendi formelliklerini simge sistemleriyle tarif eden) kuramların genel kuramıdır, ve onların mümkün modelleridir.

Her biri öbürünü formelleştirmek için doğal çerçeveyi verir: her küme kuramı model kuramınca tarif edilen bir kuram hâlinde formelleştirilir: model kuramı, doğrudan bir kuram hâlinde gelmektense, küme kuramının (kuramları ve sistemleri karmaşık nesneler hâlinde tanımlayan) bir gelişimi hâlinde gelir. İki bağlantı ayrı ayrı ele alınmalıdır: küme kuramının iki rolü, model kuramının dayanağı olma rolü ile model kuramının çalışma nesnesi olma rolü, ayırt edilmelidir. Ama bu formelleştirmelerin tamamlanması uzun bir çalışma gerektirir, özellikle de şu son parçada:

Kanıt kuramı, her kuramın savlarını veren kanıtlar için bir mümkün formel sistem tarif ederek model kuramını tamamlar. Bir kuram savları birbiriyle asla çelişmiyorsa bağdaşıktır. Bağdaşmaz kuramların hiçbir modeli olamaz, çünkü aynı beyan aynı sistemde hem geçerli [true] hem geçersiz [false] olamaz.

Model kuramı ve kanıt kuramı özü itibariyle eşsizdir, kuram kavramlarına, savlarına ve her kuramın bağdaşıklığına net ve doğal bir anlam verirler.

Küme kuramı ve matematiğin temelleri
1. Matematiğin ilk temelleri
1.1. Matematiğin temellerine giriş
1.2. Değişkenler, kümeler, işlevler ve işlemler
1.3. Kuramların biçimi: mefhumlar, nesneler, üst-nesneler
1.4. Matematiksel sistemlerin yapıları
1.5. İfadeler ve tanımlanabilir yapılar
1.6. Mantıksal bağlaçlar
1.7. Küme kuramında sınıflar
1.8. Küme kuramında bağlayıcılar
1.9. Niceleyiciler
1.10. Küme kuramının formelleştirilmesi
1.11. Küme üretimi ilkesi
Felsefî yanlar
Model kuramında zaman
Küme kuramında zaman
Sınıfların yorumlanması
Matematikte hakikat kavramları
2. Küme kuramı (devam)
3. Cebir
4. Model kuramı

Türkçesi: Işık Barış Fidaner

5 Comments

Filed under çeviri, bilim