Kuramların biçimi: mefhumlar, nesneler ve üst-nesneler — Sylvain Poirier

Sylvain Poirier — settheory.net

1. Matematiğin ilk temelleri

1.3. Kuramların biçimi: mefhumlar, nesneler ve üst-nesneler

Modelin değişkenliği

Her bağdaşık kuram kendi modelinin (yorumunun) sabitlenmiş olduğunu varsayar, ama olağandır ki bu, aynı kurama ait varolan diğer meşru modellerin geniş (sonsuz) menzili içinde bir tane modelin «tercih»inden ibarettir; model kuramı açısından bakıldığında model değişken olur. Fakat bu «tercih» ve modelin bu «varolma»sı gayet soyut olabilir. Ayrıntıda, Tamamlanmışlık savının kanıtı, bütün vakalarda işleyebilerek, imkânlar menzili içinde bir tane modeli «belirt»ecektir, ama bu inşa aslında alenî değildir (sonsuz tane adım içerir, her adım sonsuz bilgiye bağlıdır). Bu koşullarda, bir modelin sabitlenmesi varsayımı saçmalık sayılabilir, ama yine de matematiksel kuramların standart yorumunu teşkil eder.

Mefhumlar ve nesneler

Her kuramın kendine ait mefhumlar listesi vardır, ortak adlarla adlandırılmaları olağandır, kuramın kullandığı türden değişkenlerdir; her model (kuramın yorumu) her mefhumu o türden tüm değişkenlerin ortak menzili olan bir küme olarak yorumlar. Örneğin Öklit geometrisinde «nokta», «düz çizgi», «çember» ve daha başka mefhumlar vardır. Bir kuramın bir modeldeki nesneleri, bu modeldeki değişkenlerinin tüm mümkün değerleridir (mefhumlarının öğeleridir).

Tek-model kuramı

Birçok T kuramını ve bu T‘lerin modeli olabilecek M sistemlerini tartıştığımızda, model kuramının çerçevesi içindeyiz, onun «kuram» ve «sistem» mefhumları T ve M değişkenlerinin türleridir. Ama tek bir kuramın (küme kuramı gibi) çalışılmasına odaklandığımızda, yani modelinin sabitlenmiş olması beklendiğinde, T ve M değişkenleri sabitlenir ve gözden kaybolurlar (artık değişken değildirler, kuram ve model tercihi örtük hâle gelir). O zaman kuram ve model mefhumu da mefhumlar listesinden çıkar.

Bu sabitleniş çerçeveyi indirger, model kuramından tek-model kuramına indirger. Tek-model kuramının bir modeli, bir T kuramını T‘nin bir M modeliyle bileştiren bir [T,M] sistemidir.

Mantıksal çerçevelerin çeşitliliği üzerine

Bir T kuramını vermeden önce belirtmemiz gereken mantıksal çerçevesi (formatı ya da grameri), T‘de kabul edilebilir içerik biçimlerini, böyle içeriklerin M hakkında ne söylediğini ve neticelerinin nasıl çıkarılacağını tarif eder. Bu çerçeve, tek-model kuramının tam olarak T‘yi tarif eden ve iddialarını yorumlayan bir versiyonunun tercih edilmesi ile verilir.

Önce esas mantıksal çerçevelerin iki tanesini koşut olarak tarif edeceğiz.
En yaygın çerçeve olan birinci-derece mantık kuramlarına burada jenerik kuramlar denilecektir. Küme kuramı kendine ait özel çerçevesi içinde ifade edilecektir. Üçüncü kısımda daha başka çerçeveler getirilecektir.

Küme kuramının özel çerçevesi haricindeki en yaygın mantıksal çerçeveler, mefhumları hem değişkenleri hem nesneleri sınıflandıran tipler olarak (her kuramda sonlu sayıda olağandır) yönetecektir: her nesne tek bir tipe ait olacaktır, onu adlandırabilen değişkenlerin tipine. Örneğin Öklit geometrisinin bir nesnesi bir nokta ya da bir düz çizgi olabilir, ama aynı nesne hem bir nokta hem bir düz çizgi olamaz.

Çeşitli kuramlardan mefhum örnekleri

Kuram Nesne türleri (mefhumlar)
Jenerik kuram Tiplerle sınıflandırılan saf öğeler
Küme kuramı Öğeler, kümeler, işlevler, işlemler, ilişkiler, tuplelar…
Model kuramı Kuramlar, sistemler ve onların bileşenleri
(sonraki satırda listelenmiş)
Tek-model kuramı Nesneler, simgeler, tipler, yapılar, ifadeler (terimler, formüller)…
Aritmetik Doğal sayılar
Lineer Cebir Vektörler, skalerler…
Geometri Noktalar, düz çizgiler, çemberler…

 

Üst-nesneler

Bir T1 tek-model kuramının mefhumları, normalde [T,M] içinde yorumlanır, T‘nin bileşenlerini («tip», «simge», «formül»…) ve M‘ninkileri («nesne», ve orada T‘yi yorumlama araçları) sınıflandırır. Fakat aynı mefhumlar (tek-model kuramının farklı bir versiyonundan bile gelseler) [T1, [T,M]] içinde yorumlanabilirler, üst- öneki eklenerek.

«Nesne» mefhumuyla tek-model kuramı T‘nin M‘deki nesnelerini [T,M]’deki nesneler içinde, üst-nesneler içinde ayırt eder. Üst önekinin kullanımına ilişkin üstteki kural her nesnenin üst-nesne olmasına izin verirdi; ama biz bir kelime istisnası yaparak sadece nesne olmayanlara üst-nesne diyeceğiz: simgeler, tipler (ve diğer mefhumlar), yapılar, ifadeler…

Küme kuramı nesne gibi gördüğü kendi değişkenlerinden (kümeler) sadece bazılarının menzillerini bilir. Ama tek-model kuramı açısından bakılırsa, bir kuramın her değişkeninin mefhumlar içinde bir menzili vardır, ki mefhumlar yalnızca üst-nesnedirler.

Kuramların bileşenleri

Mantıksal bir çerçeve tercih edildikten itibaren, bir kuramın içeriği (ya da temeli, yani niyetlenilen modellerin biçimini tarif eden ilk içeriği), 3 ardışık bileşen listesinin tercih edilmesinden oluşur, öyle ki her listede olanlar bir sonraki listede olanların inşasında kullanılır:

  • Tipler için ad hizmeti görecek bir soyut tipler listesi;
  • Bir dil (kelime haznesi): yapı simgeleri listesi, sistemler biçimlemek için nesneleri ilişkilendiren yapıların adları (bkz 1.4).
  • Bir belitler listesi (kuramın zemin formülleri içinde, bkz 1.5.).

Küme-kuramsal yorum

Her jenerik kuram (ve modeli, dikkate alınırsa) bileşenleri küme kuramının bileşenlerine çevrilerek küme kuramına sokulabilir (tercüme edilebilir). Gelin hem her jenerik kuramda işe yarayan jenerik yöntemi hem de geometri vakasında tercih edilmesi olağan farklı (jenerik olmayan) yöntemi sunalım.

Her vakada, soyut tipler sabitlenmiş değişkenler (ya da yeni sabit simgeler) olur ve değerleri yorumlanmış tipler denen kümelerdir (her tip için değişken menzilleridir). Geometride, hem «Nokta» hem de «Düz çizgi» soyut tipleri P ve L sabitlenmiş değişkenleri olarak tüm noktalar kümesini ve tüm düz çizgiler kümesini adlandırırlar.

Değişken simgelerinin kullanımı yekpare bırakılacak ve küme kuramının kimi nesnelerinden değer alacaktır (ama hepsinden değil). Geometride düz çizgi gibi kimi nesnelerin küme (noktalar kümesi) olarak yorumlanması olağanken, jenerik yöntem sadece saf öğeleri nesne olarak kullanır (ya da saf olmadıkları hâlde onlara öğe demekle muğlaklık yaratırız).

Jenerik yöntem ayrıca yapı simgelerini sabitlenmiş değişkenlere çevirecektir.
Tiplerle yapı simgelerinin (sabitlenmiş değişken olarak değerlerinin) yorumlanışı modeli belirleyecektir, çünkü esas bileşenleri bunlardır. Böylece bu değişkenlerle değişen modelin kendisi küme kuramının bir nesnesidir. Bize gereken tüm kuramlar aynı küme kuramının kısımları hâlinde entegre olurken, tüm modeller küme kuramının ortak bir modeli içinde toparlanır. İşte bu yüzden küme kuramının modellerine evrenler denecektir.

Küme kuramı ve matematiğin temelleri
1. Matematiğin ilk temelleri
1.1. Matematiğin temellerine giriş
1.2. Değişkenler, kümeler, işlevler ve işlemler
1.3. Kuramların biçimi: mefhumlar, nesneler, üst-nesneler
1.4. Matematiksel sistemlerin yapıları
1.5. İfadeler ve tanımlanabilir yapılar
1.6. Mantıksal bağlaçlar
1.7. Küme kuramında sınıflar
1.8. Küme kuramında bağlayıcılar
1.9. Niceleyiciler
1.10. Küme kuramının formelleştirilmesi
1.11. Küme üretimi ilkesi
Felsefî yanlar
Model kuramında zaman
Küme kuramında zaman
Sınıfların yorumlanması
Matematikte hakikat kavramları
2. Küme kuramı (devam)
3. Cebir
4. Model kuramı

Türkçesi: Işık Barış Fidaner

5 Comments

Filed under çeviri, bilim