Matematiksel sistemlerin yapıları — Sylvain Poirier

Sylvain Poirier — settheory.net

1. Matematiğin ilk temelleri

1.4. Matematiksel sistemlerin yapıları

Yapılar, bir kuramın dilini (küme kuramsal bir yorumda yapı simgelerinin değerlerini) yorumlayarak, çalışılan sistemi biçimlemek için çeşitli tipten nesneleri ilişkilendirir. Bu yapılar her tipten nesnenin sistemde çeşitli roller oynamasını sağlar. Bu rollere göre nesneler, saf öğelerin basit yapısına karşın, karmaşık nesneler gibi yorumlanabilir.

Jenerik kuramlar 2 tür yapı (dolayısıyla 2 tür yapı simgesi) kabul eder: işleçler ve yüklemler.

Bir işleç yorumlanan tipler arasında bir işlemdir. Yorum öncesi kuram tarafında, her işleç simgesi şunlarla gelir: kendi arite verisi (ya da simgenin etrafında yerler gibi görülen argümanların listesi), her argümanın tipi (ki yorumlanan tipi menzil alacaktır), ve tüm değerlerinin eşsiz tipi (işlemin sonuçları).

Bir kuramın sabit simgeleri (ya da sabitleri) onun nullary işleç simgeleridir.

Unary işleçlere (yani işlevlere) burada izleç [functor] adı verilecektir.
(kategori kuramındaki izleç kavramıyla karıştırılmamalıdır).

Tipler listesi 1 («geçerli») ve 0 («geçersiz») öğe çifti ile yorumlanan Boolean tipi ile tamamlanır. Bu tipteki bir değişkene (kuram dışında) Boolean değişken adı verilir.

Bir para-işleç, argüman ve sonuç tipleri içinde Boolean tipine izin veren genelleşmiş bir işleçtir.

Bir (mantıksal) bağlaç, sadece Boolean argüman ve değerleri olan bir para-işleçtir.

Bir yüklem, Boolean değerleri olan bir para-işleçtir, öyle ki hiçbiri Boolean olmayan en az bir tane argümanı vardır.

Küme kuramında yapılar

Gelin 3 ilksel mefhumla (nesne çeşidiyle) küme kuramını formelleştirmeye başlayalım : öğeler (tüm nesneler), kümeler ve işlevler. Gerektikçe kademe kademe geliştirilecek bu formelleştirmede, ilksel ya da öncekinden türetilmiş sayılabilecek başka mefhumlar, ve her tür nesneye rol vererek katkı yapan daha başka simgeler yer alacaktır. Fakat bu formelleştirme işi kuramlara dair yukarıdaki küme kuramsal yorumu gözardı etmeyi gereksinir, çünkü formelleşmiş jenerik kuramlar ile küme kuramı arasındaki bu iki bağ birbiriyle karıştırılmamalıdır (kuramların küme kuramsal tercümesi henüz küme kuramının kendisine uygulanmış değildir, bu konu 1.7’de tartışılacak).

Küme kuramının kümelere rol verme yollarından birisi ∈ ikili yüklemiyle olur : her x öğesi ve her E kümesi için, x E‘dedir (ya da E‘ye aittir, ya da E‘nin bir öğesidir, ya da E x‘i içerir) deriz ve x ∈ E yazarak, x‘in E‘yi menzil alan bir değişkenin değerleri içinde olduğunu söyleriz.

f işlevleri iki işleç yoluyla rollerini oynarlar: muhit izleci Dom, ve işlev değerlendirici, ki f(x) yazımında örtük hâlde bulunan ikili işleçtir, argümanları f ve x‘tir, ve her f işlevinin Dom f‘teki her x öğesindeki değerini verir.

ZFC belitsel küme kuramı hakkında

Zermelo-Fraenkel belitsel küme kuramı (ZF ya da ZFC ile tercih beliti) tek tipi «küme», tek yapı simgesi ∈ ve belitleri olan bir jenerik kuramdır. Örtük hâlde her nesnenin bir küme olduğunu, dolayısıyla boş küme üzerine inşa edilmiş bir kümeler kümesi vb. olduğunu varsayar.

Matematiksel mantık uzmanları genişletilmiş temellendirici döngü içinde güçlü bir kuram olarak ZFC’yi tercih etmişlerdir, böylece çok zor formüllerin geçerliliğini ya da kanıtlanamazlığını kanıtlayabilirler. Temel dersleri hazırlayanlarınsa küme kuramını ZFC kuramının popülerleştirilmiş ya da örtük bir versiyonu hâlinde sunmaları olağandır, ZFC standart müracaat noktasıdır, sanki gerekli ya da barizmiş gibi (sezgilerle güdülenen belitsel bir sistem olarak, bağdaşıklığı ve sonuçlarındaki kolaylık nedeniyle tarihsel seçim olmuştur).

Fakat matematiğe başlamak için ZF(C) ideal bir müracaat noktası değildir. ZF(C)’nin belitleri (anlamlı olmak için model kuramı çerçevesini üstlenmek zorunda olan evren tarifleri) olağan hâlde varsayılandan daha incelikli ve daha karmaşık gerekçeler gerektirir. Sıradan matematik, olağan hâlde küme sayılmayan birçok nesne kullanılarak, bu temelde ancak nahoş bir şekilde formelleştirilir. Tüm gerekli nesnelerin rollerini kümeler dolaylı bir şekilde oynayabileceğinden, başka bir formelleştirme gereksinmediler, fakat «kuram» ile matematik pratiği arasında uyuşmazlık vakaları hâlinde kaldılar.

Tek-model kuramında tipler

Tek-model kuramı mümkün modellerin çeşitliliğini gözardı ettiğinden, onun tip mefhumu daha genel (küme kuramsal) «nesneler kümesi» mefhumunu (ki yorumlanmış tipler bunun belirli vakalarıdır) gözardı ederek, hem soyut tiplerin (kuramda) hem de yorumlanmış tiplerin (model bileşenlerinde) rolünü oynayan bir üst-mefhum hâlinde formelleştirilebilir : bu rolleri üst-izleçler verir, birisi değişkenlerden tiplere gider, birisi de nesnelerden tiplere gider. Daha geniş bir mefhum menzili olan sınıflar, 1.7’de tanıtılacaktır.

Tek-model kuramında yapılar

Bunun gibi, (yüklem olursa Boolean değer alan yorumlanmış tipler arasında bir işlem olan) «yapılar»ın rolü (işlev değerlendiriciye benzer) üst-yapılarla formelleştirilebilir.

Yorumlanmış tiplerin (ki hepsi soyut tiplerle adlanmıştır) aksine, tek-model kuramındaki yapı mefhumumuz, verili dildeki simgelerin değerlerinden daha geniş olacaktır. Bunun için yapılar, simgelerden yapılara bir üst-izleci olan bir başka üst-tip olacaktır. Ne ki bu salt formelleştirme, bu yapı mefhumunun tam olarak nasıl genişletildiğini belirlenmemiş bırakır.

Bu menzili «yorumlanmış tipler arasındaki tüm işlemler»in menzili hâlinde kavrama çabası, böyle bir bütünselliğin bilgisinin kaynağını bilinmez kılar. Bu bütünsellik fikri küme kuramında kuvvet kümesi olarak formelleştirilecektir (2.5.), ama anlamı yine de (istenen tüm işlemleri içerdiği varsayılan) yorumlandığı evrene bağlı kalacaktır, bu da şimdiki tek-model kuramı ilgimizden uzaktır.

Bunun yerine, yapı mefhumunu 1.5’te ifadelerle tanımlanabilen yapılar ile sabitleyeceğiz.

Küme kuramı ve matematiğin temelleri
1. Matematiğin ilk temelleri
1.1. Matematiğin temellerine giriş
1.2. Değişkenler, kümeler, işlevler ve işlemler
1.3. Kuramların biçimi: mefhumlar, nesneler, üst-nesneler
1.4. Matematiksel sistemlerin yapıları
1.5. İfadeler ve tanımlanabilir yapılar
1.6. Mantıksal bağlaçlar
1.7. Küme kuramında sınıflar
1.8. Küme kuramında bağlayıcılar
1.9. Niceleyiciler
1.10. Küme kuramının formelleştirilmesi
1.11. Küme üretimi ilkesi
Felsefî yanlar
Model kuramında zaman
Küme kuramında zaman
Sınıfların yorumlanması
Matematikte hakikat kavramları
2. Küme kuramı (devam)
3. Cebir
4. Model kuramı