İfadeler ve tanımlanabilir yapılar — Sylvain Poirier

Çevirinin okunaksız olduğunun farkındayım. Daha sonra geri dönüp düzeltmeyi planlıyorum. Bu çeviriyi sadece terimleri seçmek için yapıyorum. Grameri bozuk hâlde bırakıyorum. Konuyu anlamak isteyenler İngilizce metni okusunlar.

IBF

Sylvain Poirier — settheory.net

1. Matematiğin ilk temelleri

1.5. İfadeler ve tanımlanabilir yapılar

Terimler ve formüller

Bir ifade, bir kuramın ilk iki katmanı (bir tipler listesi ve bir dil) verildiğinde, simgelerin bulunuşlarının sonlu bir sistemidir; bir modelin (belitleri gözardı ederek verilen tipleri ve yapı simgelerini yorumlayan sistem) ve içerdiği serbest değişkenlerin bir yorumunun (modeldeki değerlerinin) her mümkün verisi için bir değer tanımlayacaktır.

Her ifade ya bir terim ya da bir formüldür: terimlerin değerleri nesneler olurken formüllerin boolean değerleri olacaktır.

Bir zemin ifade, hiçbir serbest değişkeni olmayan bir ifadedir (tüm değişkenleri bağlıdır) öyle ki ifadenin değeri yalnızca modele bağlıdır. Bir kuramın belitleri zemin formülleri içinden seçilir.

Gelin ifadelerin genel tarifini çizelim (Bölüm 3’te formelleştirilecektir).

Bir simgenin bir ifadede bulunuşu yazılı olduğu bir yerdir, mesela «x + x» ifadesinde x‘in iki bulunuşu, +’nın bir bulunuşu vardır.
İfadeler şu türlerde simgeler kullanabilirler.

  • Her tipte değişkenler (serbest ya da bir bağlayıcı kullanımı ile bağlı) ;
  • Para-işleç simgeler:
    • Yapı simgeleri (işleçler ve yüklemler, dilden gelen) ;
    • Tip başına bir eşitlik simgesi (aynı tipte 2 argümanı olan yüklem) suistimal ederek hepsi = diye yazılır ve standart yolla yorumlanır ;
    • Mantıksal bağlaçlar ;
  • Bağlayıcılar (1.8.): birinci-derece mantıkta olanlar sadece iki niceleyicidir (∀ ve ∃, bkz 1.9.), ama bizim küme kuramımızda daha fazlası olacak.

İfadeler ardışık olarak inşa edilir. İlk ve en basit olanlar kendi başına zaten bir değeri olan tek bir simgeden yapılır: sabitler ve değişkenler ilk terimlerdir; Boolean 1 ve 0 sabitleri en basit formüllerdir.

Sonraki ifadeler ardışık olarak şu verilerden yapılarak inşa edilir:

  • İfadenin kökü denilen bir simgenin (para-işleç ya da bağlayıcının) ayırt edilmiş bir seçimi (bulunuşu);
  • Eğer kök bir bağlayıcı ise, bir ya da daha fazla (bağlanacak) değişken simgeler;
  • Önceden inşa edilmiş ifadelerin bulunuşlarının bir listesi.

Kök, değerlerin tipini (böylece ifadenin bir formül mü yoksa terim mi olduğunu kararlaştırır) ve listenin formatını (girişlerin sayısını ve tiplerini) belirler. Para-işleç simgeleri için, bu formatı argümanlar listesi verir.

Sabitler için bu liste boştu; sabitler, kökler halinde, kendi başlarına ifadeler biçimlemişlerdi. Başka para-işleç ve bağlayıcılara boş-olmayan bir liste gerekir, bu da bir görüntüleme konvansiyonu seçimini gereksinir:

  • Çoğu binary para-işleç simgeleri iki argüman arasındaki bir karakter hâlinde görüntülenir, mesela x+y
  • Daha yüksek ariteli simgeler bunun gibi girişleri sınırlayan birçok karakterle görüntülenebilir.
  • İşlev-gibi görüntüler, +(x,y) gibi, 2’den başka aritelerde daha olağandır.
  • Birkaç simge ancak argümanlarını bir araya getiren kendi özel yolları ile «gözükür» (çarpım, üs alma).
  • Parantez, bir simge notasyonunun bir kısmı olabilir (işlev değerlendirici, tuplelar…).

Parantez, her ifade ya da alt-ifade için, alt-ifadeleri ayırarak kökü ayırt etmek için de kullanılabilir, mesela (x+y)n.

Değişken yapılar

Verili bir dilde çok az nesnenin sabit simgeleriyle adlandırılması olağandır. Her başka nesne bu dilin dışındaki bir başka simgeyle, bir sabitlenmiş değişkenle adlandırılabilir. İçinde olmayı düşündüğümüz kurama göre bu farklı yorumlanabilir:

  • Basit bir değişken simge olarak (ifadelerde izin verilse de kuramın «dili içinde» izin verilmez): bu değişkeni kullanarak ve bağlayarak, kuramda bir tipteki tüm nesneler hakkında bir ifade biçimleyebiliriz.
  • Özgül bir değer için özgül bir adla dile eklenen yeni bir sabit simge olarak: bir başka kuram için daha zengin bir dil elde ederiz. Farklı mümkün değerlerin farklı modellere karşılık geleceği görülür.

Basit nesnelerden (ki yorumlanmış tipler arasında varolabilecek tüm nullary işlemlerle tespit edilebilirler), başka yapılara doğru (ki ariteleri sıfırdan farklıdır) bunu genelleştirmeye çalışarak, değişken yapılı simge kavramını elde ederiz, ama bu yukarıda verilen, ifadelerde izin verilen simgeler listesinden kaçar. Dolayısıyla, böyle bir simgeyi kullanan ifadelerin statüsü için şimdi şu ikisinden biri seçilmelidir:

  • Değişken yapı simgelerini kabul eden genişletilmiş bir mantıksal çerçeve (mesela ikinci-derece mantık, bkz Bölüm 3);
  • Yine, bu simgenin dile eklendiği genişletilmiş bir kuram.
  • Özel bir maksat : bağlayıcıların tanımlamaları (1.11)

Birinci-derece mantıktaki bir kuram, aritesi sıfırdan farklı olan bir değişken yapının tüm menzilini ele alamadığından (tüm argümanları sonlu kümeleri menzil almadığı sürece), bu menzilin tüm özelliklerini ifade edemez. Yine de kimi özellikler şöyle bilinebilirler: eğer değişken yapılı (tanımlanmamış) bir simgesi olan bir formül formelce kanıtlanırsa, o halde kastedebileceği tüm yapılar için geçerlidir, «bulunabilseler» de bulunamasalar da. Bu kanıtlanabilir evrensel geçerlilik kavramı sıradan değişkenler için (1.9’daki Evrensel Getirme ilkesi) ve küme üretim ilkesinin formülasyonu içinde (1.11) bir kanıt kuralı olarak kullanılacaktır.

İfadelerle tanımlanan yapılar

Her kuram yorumlanmış tipler arasındaki işlemler olarak yapılar (kendi dilinde doğrudan adlandırılanların ötesinde işleçler ya da yüklemler) üretebilir, şu verilerle tanımlanırlar:

  • Bir ifade (işleçler terimlerle tanımlanırken, yüklemler formüllerle tanımlanır);
  • Bu tanımlamayla bağlanmak üzere, niyet edilen yapının argümanları rolüyle, kimi serbest değişkenlerinin bir listesi (belki hepsi kullanılmamıştır); diğer serbest değişkenlere parametreler denir;
  • Parametrelerin sabitlenmiş değerleri.

Nullary işleçler (basit nesneler) parametre gibi görülecek bir değişken simgeden yapılan terimle böyle «tanımlanmış» olur. Küme kuramının bir formelleştirilmesinde, her f işlevi, x argümanlı f parametreli «f(x)» terimiyle tanımlanan izleçle eş anlamlıdır.

Böyle bir yapının, ifadeyi parametreleriyle kısaltmayı amaçlayan bir değişken yapı simgesiyle adlandırılmasının meşru bir iş olduğunu kabul edebiliriz. Simgenin değişkenliği parametrelerinin değişkenliğini kısalttığından, bu değişken yapısı kuramda parametrelerinin tüm mümkün değerlerinin ortak ifadesiyle tanımlanmış tüm yapıları menzil alacak gibi bağlı kılınabilir: bu sadece bu parametreleri bağlama eylemini kısaltır.

Gelin şimdi tek-model kuramının yapı mefhumunu sabitleyelim, yani işleç ve yüklem mefhumlarını, bu yolla ulaşılabilen her şeyden yapılmış olarak: her mümkün parametre değerlerinin her ifadesiyle tanımlanmış olarak. Burada tüm ifadelerin sonsuz kümesi olduğundan, çalışılan kuramın (her seferinde tek bir ifade kullanabilir) yeteneklerini aşar ve ancak ifade üst-mefhumlu tek-model kuramı kuramı çerçevesi ile erişilebilir olur. Bu yine de bir küme kuramsal çerçevenin evreninde varolabilecek tüm işlemler (yorumlanmış tipler arasında) menzilinin tüketilmesi anlamına gelmez, çünkü tanımlanamaz yapılar da olabilir.

Değişmez yapılar

Bir kuram için bir değişmez yapı, parametreleri olmadan tanımlanmış (dolayısıyla sabit) bir yapıdır. Bir kuramın dilindeki bir simgeyle adlandırılan her yapı, parametresi olmadan doğrudan onunla tanımlanmıştır, ve dolayısıyla bu kuram için değişmezdir. Değişmez yapıların böylece başka yapılardan ayırt edilmesi, sabitler ile değişkenler arasındaki ayrımı genelleştirir, hem sıfırdan farklı aritelere genelleştirir, hem de kuram dilinde doğrudan adlandırmak yerine kuramda dolaylı yoldan ifade edilebilen şeye genelleştirir.

Henüz dilde bulunmayan değişmez yapılar oraya eklenecek yeni simgelerle adlandırılabilir, böylece kuramın derin anlamı muhafaza edilir (yapıya dair üst-mefhumlar, değişmez yapı, kanıtlanabilirlik…). Bir kuramı geliştirmek için böyle kurallar Bölüm 3’te ele alınacak.

Küme kuramı ve matematiğin temelleri
1. Matematiğin ilk temelleri
1.1. Matematiğin temellerine giriş
1.2. Değişkenler, kümeler, işlevler ve işlemler
1.3. Kuramların biçimi: mefhumlar, nesneler, üst-nesneler
1.4. Matematiksel sistemlerin yapıları
1.5. İfadeler ve tanımlanabilir yapılar
1.6. Mantıksal bağlaçlar
1.7. Küme kuramında sınıflar
1.8. Küme kuramında bağlayıcılar
1.9. Niceleyiciler
1.10. Küme kuramının formelleştirilmesi
1.11. Küme üretimi ilkesi
Felsefî yanlar
Model kuramında zaman
Küme kuramında zaman
Sınıfların yorumlanması
Matematikte hakikat kavramları
2. Küme kuramı (devam)
3. Cebir
4. Model kuramı

Türkçesi: Işık Barış Fidaner

5 Comments

Filed under çeviri, bilim