Mantıksal bağlaçlar — Sylvain Poirier

Sylvain Poirier — settheory.net

1. Matematiğin ilk temelleri

1.6. Mantıksal bağlaçlar
Nullary bağlaçları önceden görmüştük : Boolean 0 (geçersiz) ve 1 (geçerli) sabitleri.

Boolean’ler arasında binary eşitlik bağlacı ⇔ diye yazılır ve denklik adı verilir: AB «A B‘ye denktir» diye okunur.

Gelin diğer işe yarar bağlaçları sunalım, Boolean değişkenlerin (A, B, C, ki yerlerine formüller konabilir) tüm mümkün değerleri için geçerli olan özellikleriyle birlikte.

Yadsıma

Tek işe yarar unary bağlaç Boolean’leri takas eden yadsımadır: ¬A «A değil» diye okunur.

¬1 ⇔ 0
¬0 ⇔ 1
¬(¬A) ⇔ A

Çoğu zaman argümanının kökünün üstünü çizerek gösterilir, aynı formatta bir başka simgeyle biçimlenir:

xy ⇔ ¬(x=y)
xE ⇔ ¬(x ∈ E)
(AB) ⇔ ¬(AB)
(AB) ⇔ (A ⇔ ¬B))

(x y‘ye eşit değil)
(x E‘nin bir öğesi değil)
(Denk olmama)

Kesiştirmeler, ayırmalar

Kesiştirme ∧ «ve» anlamına gelir, sadece her iki argüman geçerli olduğunda geçerli olur;

Ayırma ∨ «veya» anlamına gelir, her iki argümanın da geçersiz olması haricinde geçerli olur.

Her birisi şu özellikleri sağlar :

Eşkuvvetlilik
(AA) ⇔ A
(AA) ⇔ A

Sırabağımsızlık
(BA) ⇔ (AB)
(BA) ⇔ (AB)

Birleşirlik
((AB) ∧ C) ⇔ (A ∧ (BC))
((AB) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B C))

Öbürü üzerine dağılabilirlik
(A ∧ (BC)) ⇔ ((A B) ∨ (AC))
(A ∨ (BC)) ⇔ ((AB) ∧ (AC))

Aralarındaki simetri, yadsıma ile takas edilebilmelerinden gelir:

(AB) ⇎ (¬A ∧ ¬B)
(AB) ⇎ (¬A ∨ ¬B)

(ABC) gibi kesiştirme dizileri, daha çok parantezli ((AB) ∧ C) gibi formülleri kısaltır, ve bunlar birleşirlik sayesinde denktirler; (ABC) gibi ayırma dizileri için de benzeri durum geçerlidir.

Bir dizi formülün kesişimini öne sürmek, o formülleri ardışık olarak öne sürmek anlamına gelir.

Denk olmama’ya ⇎ ayrıca «dışarıcı veya» (ya da «ya da») da denir çünkü (A B) şöyle de yazılabilir: ((AB) ∧ ¬(A B)).

İmletim

Binary imletim bağlacı ⇒ şöyle tanımlanır: (AB) ⇔ ((¬A) ∨ B). «A B‘yi imletir», «A B için yeter koşuldur», veya «B A için gerekli koşuldur» diye okunabilir. A‘nın geçerli ve B‘nin geçersiz olması haricinde geçerli olur; A geçerliyken B‘nin geçerliliğini ifade eder, ama A geçersizken B hakkında daha fazla bilgi vermez (çünkü o zaman geçerli olur).

Dahası,

(AB) ⇎ (A ∧ ¬B)
(AB) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

¬B ⇒ ¬A formülüne AB‘nin karşıpozitifi denir.

Denklik ayrıca şöyle yeniden tanımlanabilir:

(AB) ⇔ ((AB) ∧ (B A)).

Böylece AB‘nin kanıtı, ilk imletmenin kanıtı (AB) sonra da ikinci imletmenin kanıtı (BA, ki AB‘nin karşıtı denir) ile yapılabilir.

(A ∧ (AB)) formülü AB diye kısaltılacaktır, bu ifade «A öyleyse B» diye okunur. Bu (AB)’ye denktir, ama A ve (AB)’nin geçerliliklerinden çıkarımlandığını belirtir.

Yadsımalar kesiştirme ve ayırmaların birleşirlik ve dağılabilirlik formüllerini dönüştürerek çeşitli imletimli formüllere ulaşır:

(A ⇒ (BC)) ⇔ ((AB) ⇒ C)
(A ⇒ (BC)) ⇔ ((AB) ∨ C)

(A ⇒ (BC)) ⇔ ((AB) ∧ (AC))
((AB) ⇒ C) ⇔ ((AC) ∧ (BC))
((AB) ⇒ C) ⇔ ((AC) ∧ (BC))
(A ∧ (BC)) ⇔ ((AB) ⇒ (AC))

Son olarak,

((AB) ∧ (AC)) ⇒ (BC)
((AB) ∧ (AC)) ⇒ (BC)

İmletim zincirleri ve denklikler

Farklı bir tür kısaltma ile, ⇔ ve/ya ⇒ ile bağlanmış her formül dizisi, imletim ve denkliklerin hepsinin komşu formüller arasında kesiştirilmesi anlamına gelecektir:

(AB C) ⇔ ((AB) ∧ (BC)) ⇒ (AC)
(ABC) ⇔ ((AB) ∧ (B C)) ⇒ (AC)
0 ⇒ AA ⇒ 1
A) ⇔ (A ⇒ 0) ⇔ (A ⇔ 0)
(A ∧ 1) ⇔ A ⇔ (A ∨ 0) ⇔ (1 ⇒ A) ⇔ (A ⇔ 1)
(AB) ⇒ A ⇒ (AB)

Eşitlik belitleri

Her x, y nesnesi (ya da kısaltma terimi) için, her T izleci için, her unary A yüklemi için,

x = x
x = y ⇒ T(x) = T(y)
x = y ⇒ (A(x) ⇔ A(y))

Son formül şöyle de yazılabilir: (A(x) ∧ x = y) ⇒ A(y), çünkü karşıtı A(y) ⇒ A(x) kendi karşıpozitifi ile (A yerine ¬A koyarak) ya da (x = yy = x) eşitliğinin simetrisi ile çıkarımlanabilir, ki bu eşitlik (z = x) formülünü A(z) alarak elde edilir.

Ayrıca tüm x, y, z için şunu verir: (x = yy = z) ⇒ x = z. (x = yy = z) formülü şöyle kısaltılacaktır: x = y = z.

Kanıtlanabilirlik

Bir A formülünün birinci-derece bir T kuramında bir kanıtı, kanıt kuramının bir sonlu modelidir, A‘yı T‘nin kimi belitlerine bağlar.

A T’de kanıtlanabilir deriz ve T A yazarız, eğer A‘nın T‘de bir kanıtı varsa.

Yine T‘de, bir A formülünün çürütülmesi, ¬A‘in bir kanıtlamasıdır. Eğer (T⊢ ¬A) varsa, A formülü (T‘de) çürütülebilirdir denir.

Bir formüle (T‘de) kararlaştırılamaz denir, eğer ne kanıtlanabilir ne de çürütülebilir ise.

Eğer bir formül hem kanıtlanabilir hem de çürütülebilir ise, o zaman demek ki kuram bağdaşımsızdır [inconsistent]:

(A ∧ ¬A) ⇔ 0
((T A)∧(T ⊢ ¬A)) ⇔ (T ⊢ 0).

T kuramına çelişkili veya bağdaşımsız denir, eğer T ⊢ 0 ise; aksi takdirde ona bağdaşık denir. Bağdaşımsız bir kuramda, her formül kanıtlanabilirdir. Böylesi bir kuramın hiçbir modeli yoktur.

Bir kanıtın ne olduğunu formelleştirmeye çabalamadan, kanıtları doğallıkla birbirini izleyen formüller halinde yazacağız, her bir formül önceki formüller ve yukarıdaki bağlaç özellikleri ve eşitlik sayesinde geçerli olacaktır. Doğal dilde ifade vermeler de belirebilir, özellikle de niceleyicilerle uğraşırken (1.9) ve ifadelerle tanımlanan simgeler getirirken.

Özel olarak, terimler arası bir x = y eşitliği, sonucu etkilemeden her ifadede x‘in her bulunuşunun yerine y konmasına izin verir; bir simge bir terimle tanımlandığında, ikisi eşittir, böylece her ifadede birbirlerinin yerine geçebilirler. Belitler ve değişken simgelerle (evrensel niceleyiciler altında, bkz 1.9) ifade edilen diğer kurallar, sonra bu değişkenlerin yerine terimler koymakta kullanılabilir.

Bilinen bir kanıtı olan (insanlarca ya da bilgisayarlarca) kanıtlanabilir formüller önemlerine göre olağan dilde farklı adlar alabilir: bir sav [theorem] bir önermeden [proposition] daha önemlidir; ikisi de kendi başına daha önemsiz lemmadan çıkarımlanabilir, bir corollary de ondan kolayca çıkarımlanabilir.

Küme kuramı ve matematiğin temelleri
1. Matematiğin ilk temelleri
1.1. Matematiğin temellerine giriş
1.2. Değişkenler, kümeler, işlevler ve işlemler
1.3. Kuramların biçimi: mefhumlar, nesneler, üst-nesneler
1.4. Matematiksel sistemlerin yapıları
1.5. İfadeler ve tanımlanabilir yapılar
1.6. Mantıksal bağlaçlar
1.7. Küme kuramında sınıflar
1.8. Küme kuramında bağlayıcılar
1.9. Niceleyiciler
1.10. Küme kuramının formelleştirilmesi
1.11. Küme üretimi ilkesi
Felsefî yanlar
Model kuramında zaman
Küme kuramında zaman
Sınıfların yorumlanması
Matematikte hakikat kavramları
2. Küme kuramı (devam)
3. Cebir
4. Model kuramı

Türkçesi: Işık Barış Fidaner

5 Comments

Filed under çeviri, bilim